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      2016年江西省招警考試行測數(shù)量關(guān)系：容斥問題
      


      

      


      

      


      
容斥問題是關(guān)于集合與集合之間運算關(guān)系的一類問題，從出題形式上看，它又分為兩集合的容斥問題、三集合的容斥問題和多集合的容斥問題，其中前兩類問題是相似的，需要考生掌握兩集合與三集合的容斥原理，第三類問題有所不同，需要考生從反面來考慮問題。下面是考生必須掌握的容斥原理，我們用“文氏圖”來理解：

      
	
      
兩集合的關(guān)系很容易理解，關(guān)鍵是三集合的容斥原理，上面給出了兩個關(guān)系。其中第二個圖是標(biāo)準(zhǔn)的三集合容斥原理，別看式子很長，記住它即很容易，即“加奇減偶”的關(guān)系：奇數(shù)個集合的交（包括單個集合）前面是用加法，偶數(shù)個集合的交前面是用減法。其實，更多集合的標(biāo)準(zhǔn)容斥原理都是“加奇減偶”的關(guān)系；第三個圖是沒有重疊關(guān)系的容斥原理，所以式子更簡單，D區(qū)域表示同時滿足兩個關(guān)系的集合，而E區(qū)域表示同時滿足三個關(guān)系的集合，如A、B、C表示語文、數(shù)學(xué)、英語考試及格的人數(shù)，則D表示正好有兩門考試及格的人數(shù)，E區(qū)域表示三門考試都及格的人數(shù)，顯然，在A＋B＋C的過程中，D多加了一次，E多加了兩次，那么多加了就應(yīng)該減去，多加了幾次就應(yīng)該減去幾次，前面的關(guān)系都可以這樣來理解。
      
【例1】（2006年國考）
      
現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學(xué)實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有（   ）。
      
A．27人                    B．25人 
      
C．19人                    D．10人
      
【一佳名師解析】此題答案為B。顯然，總?cè)藬?shù)＝至少有一種實驗做對的人數(shù)＋兩種實驗都做錯的人數(shù)，設(shè)兩種實驗都做對的人數(shù)為X人，則由兩集合容斥原理，至少有一種實驗做對的人數(shù)為40＋31－X人，于是有40＋31－X＋4＝50，解得X＝25人，因此答案為B。
      
【變1】（2008年海南）
      
某班共有50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和外語兩科考試，已知數(shù)學(xué)成績及格的有40人，外語成績及格的有25人，據(jù)此可知數(shù)學(xué)成績及格而外語成績不及格者（   ）。
      
A．至少有10人              B．至少有15人      
      
C．有20人                     D．至多有30人
      
【一佳名師解析】此題答案為B。這道題的考法比較靈活，考慮數(shù)學(xué)和外語及格人數(shù)的關(guān)系，結(jié)合文氏圖，此題很容易解決，如下圖所示：      

      
	 
      
上圖中列出了三個移動的狀態(tài)1、2、3，顯然，在狀態(tài)3的時候數(shù)學(xué)及格而外語不及格的人數(shù)達到最少，為40－25＝15人，因此答案為B。
      
    核心提示：建議考生通過文氏圖來理解容斥原理，這樣的話，即使在考試時忘記了容斥原理，考生也可以通過文氏圖把題目做出來。
      
【例2】（2009年國考）
      
如下圖所示，X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三張不同形狀的紙片。它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290。且X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分面積分別為24、70、36。問陰影部分的面積是多少？      

      
	 
      
A．15      B．16             C．14  D．18
      
【一佳名師解析】此題答案為B。本題的關(guān)系非常清楚，故考慮直接利用公式法。由于X∪Y∪Z＝X＋Y＋Z－X∩Y－X∩Z－Y∩Z＋X∩Y∩Z，于是X∩Y∩Z＝290－64－180－160＋24＋70＋36，尾數(shù)是6，因此答案為B。
      
【變2】（2012年4•21聯(lián)考）
      
某公司招聘員工，按規(guī)定每人至多可投考兩個職位，結(jié)果共42人報名，甲、乙、丙三個職位報名人數(shù)分別是22人、16人、25人，其中同時報甲、乙職位的人數(shù)為8人，同時報甲、丙職位的人數(shù)為6人，那么同時報乙、丙職位的人數(shù)為（   ）。
      
A．7人                     B．8人 
      
C．5人                     D．6人
      
【一佳名師解析】此題答案為A。這是一道帶附加條件的容斥問題，其附加條件是“每人至多可投考兩個職位”，于是沒有人報三個職位，即“甲∩乙∩丙＝0”，設(shè)同時報乙、丙職位的人數(shù)為X人，那么直接利用三集合容斥原理，有：42＝22＋16＋25－8－6－X，尾數(shù)是7，因此答案為A。
      
    核心提示：熟悉公式是快速解決這一類問題的關(guān)鍵，但前提是考生需要充分理解文氏圖中每一個區(qū)域的具體含義，在最后計算時結(jié)合使用尾數(shù)法。
      
【例3】（2011年國考）
      
某市對52種建筑防水卷材產(chǎn)品進行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時兩項不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項都不合格。則三項全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種？
      
A．37                     B．36 
      
C．35                     D．34
      
【一佳名師解析】此題答案為D。本題的關(guān)系如下圖所示：      

      
	 
      
問題是求合格產(chǎn)品的數(shù)量，那么首先要求出至少有一種產(chǎn)品不合格的數(shù)量A∪B∪C，由三集合容斥原理，有A∪B∪C＝A＋B＋C－D－2E＝8＋10＋9－7－2＝18，所以合格產(chǎn)品的數(shù)量為52－18＝34種，因此答案為D。
      
【變3】（2010年國考）
      
某高校對一些學(xué)生進行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊會計師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參加計算機考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？
      
A．120                      B．144 
      
C．177                      D．192
      
【一佳名師解析】此題答案為A。和上題類似，接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)＝至少參加一種考試的人數(shù)＋不參加其中任何一種考試的人數(shù)，那么由三集合容斥原理，可以求得至少參加一種考試的人數(shù)為63＋89＋47－46－2×24，尾數(shù)是5，再加上不參加的15人，尾數(shù)是0，因此答案為A。
      
【例4】（2010下半年聯(lián)考）
      
某社團共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40人愛好收藏，這個社團至少有多少人以上四項活動都喜歡？ 
      
A．5                        B．6 
      
C．7                        D．8
      
【一佳名師解析】此題答案為A。這是一個四集合的容斥關(guān)系，很明顯，直接從正面考慮會遇到困難，因為題目提供的條件不夠，考慮從反面著手。易知不愛好戲劇、體育、寫作和收藏的人分別為11人、16人、8人和6人，顯然，至少有一項活動不都喜歡的人數(shù)最多有11＋16＋8＋6＝41人（現(xiàn)實情況下可能有重復(fù)，達不到41個人），此時只有5個人四項活動都喜歡，因此答案為A。
      
【變4】（2008年國考）
      
共有100個人參加某公司的招聘考試，考試內(nèi)容共有5道題，1－5題分別有80人，92人，86人，78人，和74人答對，答對了3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過考試？
      
A．30                       B．55 
      
C．70                       D．74
      
【一佳名師解析】此題答案為C。和上題類似，我們需要從反面考慮，即考慮不通過考試的人數(shù)最多有多少人。因為答錯3道或3道以上的人不能通過考試，而答錯的題目總共有20＋8＋14＋22＋26＝90題，所以不通過考試的人數(shù)最多有90/3=30人（即考慮剛好不通過的情況，就是每個人正好答錯3道題），那么通過考試的人數(shù)最少是70人，因此答案為C。
      
    核心提示：多集合容斥問題一般會結(jié)合極端法來做，而解決這類問題的關(guān)鍵是從問題的反面著手，這里也體現(xiàn)了“互補”的思想。
      


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