集合計數(shù)題型及解題方法

集合計數(shù)問題是公務(wù)員行測考試中的�？紗栴}，它的基礎(chǔ)是集合。集合是一個基本的數(shù)學(xué)概念，關(guān)于它的一些知識大家可以參照前面數(shù)學(xué)知識里面的內(nèi)容。集合計數(shù)問題一般會比較難，特別是其中的排列組合問題和概率問題，往往需要考生具備一定的抽象思維能力，可以通過針對性訓(xùn)練來提高。
集合計數(shù)問題包括容斥問題、抽屜問題、排列組合問題和概率問題等四類問題。
一、容斥問題
容斥問題是關(guān)于集合與集合之間運算關(guān)系的一類問題，從出題形式上看，它又分為兩集合的容斥問題、三集合的容斥問題和多集合的容斥問題，其中前兩類問題是相似的，需要考生掌握兩集合與三集合的容斥原理，第三類問題有所不同，需要考生從反面來考慮問題。下面是考生必須掌握的容斥原理，我們用“文氏圖”來理解：

兩集合的關(guān)系很容易理解，關(guān)鍵是三集合的容斥原理，上面給出了兩個關(guān)系。其中第二個圖是標(biāo)準(zhǔn)的三集合容斥原理，別看式子很長，記住它即很容易，即“加奇減偶”的關(guān)系：奇數(shù)個集合的交（包括單個集合）前面是用加法，偶數(shù)個集合的交前面是用減法。其實，更多集合的標(biāo)準(zhǔn)容斥原理都是“加奇減偶”的關(guān)系；第三個圖是沒有重疊關(guān)系的容斥原理，所以式子更簡單，D區(qū)域表示同時滿足兩個關(guān)系的集合，而E區(qū)域表示同時滿足三個關(guān)系的集合，如A、B、C表示語文、數(shù)學(xué)、英語考試及格的人數(shù)，則D表示正好有兩門考試及格的人數(shù)，E區(qū)域表示三門考試都及格的人數(shù)，顯然，在A＋B＋C的過程中，D多加了一次，E多加了兩次，那么多加了就應(yīng)該減去，多加了幾次就應(yīng)該減去幾次，前面的關(guān)系都可以這樣來理解。
【例1】（2006年國考）
現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學(xué)實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有（   ）。
A．27人                    B．25人 
C．19人                    D．10人
【一佳名師解析】此題答案為B。顯然，總?cè)藬?shù)＝至少有一種實驗做對的人數(shù)＋兩種實驗都做錯的人數(shù)，設(shè)兩種實驗都做對的人數(shù)為X人，則由兩集合容斥原理，至少有一種實驗做對的人數(shù)為40＋31－X人，于是有40＋31－X＋4＝50，解得X＝25人，因此答案為B。
【變1】（2008年海南）
某班共有50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和外語兩科考試，已知數(shù)學(xué)成績及格的有40人，外語成績及格的有25人，據(jù)此可知數(shù)學(xué)成績及格而外語成績不及格者（   ）。
A．至少有10人              B．至少有15人      
C．有20人                  D．至多有30人
【一佳名師解析】此題答案為B。這道題的考法比較靈活，考慮數(shù)學(xué)和外語及格人數(shù)的關(guān)系，結(jié)合文氏圖，此題很容易解決，如下圖所示：

上圖中列出了三個移動的狀態(tài)1、2、3，顯然，在狀態(tài)3的時候數(shù)學(xué)及格而外語不及格的人數(shù)達到最少，為40－25＝15人，因此答案為B。
    核心提示：建議考生通過文氏圖來理解容斥原理，這樣的話，即使在考試時忘記了容斥原理，考生也可以通過文氏圖把題目做出來。
【例2】（2009年國考）
如下圖所示，X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三張不同形狀的紙片。它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290。且X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分面積分別為24、70、36。問陰影部分的面積是多少？

A．15      B．16             C．14  D．18
【一佳名師解析】此題答案為B。本題的關(guān)系非常清楚，故考慮直接利用公式法。由于X∪Y∪Z＝X＋Y＋Z－X∩Y－X∩Z－Y∩Z＋X∩Y∩Z，于是X∩Y∩Z＝290－64－180－160＋24＋70＋36，尾數(shù)是6，因此答案為B。